这些巨人走过的，是数学尚不存在的地方,数学界的巨人

科学的演进往往通过推倒旧体系来建立新知，这让数学显得有些异类：它不断向前推进，却几乎从不否定自己的过去。欧几里得的公理，至今仍构成数学的基础。数学的历史是建立在证明之上的一条延绵的思想脉络。著名数学家、科普作家伊恩·斯图尔特（Ian Stewart）试图追问一个更根本的问题：数学的新领域究竟是如何被“创造”出来的？为此，他选择了 25 位数学史上的巨人，讲述他们非凡的人生与深远的发现。数学是人类智慧的结晶，而创造这些思想的人，同样拥有值得讲述的故事。通过他们的经历，我们得以看到：作为一种人类共建的思想体系，数学如何在严密的逻辑约束中，孕育出真正的创新。

本文经授权摘自《数学巨人传传：思考、创造的奇趣故事》（人民邮电出版社，2025年12月版）前言，标题、小标题为编者所加。

撰文 | 伊恩·斯图尔特（Ian Stewart）

翻译 | 张憬

古老的数学依然鲜活

科学的所有分支都可以穿过历史迷雾，回溯遥远的源头，不过对大多数学科而言，人们在谈到过往的时候总要加一句“我们现在知道那是错误的”或者“这种想法的方向是正确的，但不符合现代观点”。举个例子，古希腊哲学家亚里士多德（Aristotle）认为，奔跑的马儿永远不会完全离开地面，然而在 1878 年，埃德沃德 ·迈布里奇（Eadweard Muybridge）用绊线绑定照相设备，拍出一系列照片，证明了前人判断有误。亚里士多德的运动理论被伽利略·伽利雷（Galileo Galilei）和艾萨克·牛顿（Isaac Newton）完全推翻，而他关于心灵的理论则同现代神经科学和心理学没有任何实际的联系。

数学却不一样，古老的数学依然鲜活。大约在公元前 2000 年，古巴比伦人找到了二次方程的解法——不过最早的有形证据来自公元前1500 年前后——他们的成果从未过时。这种方法当年是正确的，古人知道这背后的原因，而今天它依然没有错。现在我们用现代数学符号表示它，但推理过程是相同的。从未来回溯古巴比伦，数学思想是一条连绵不断的线。当阿基米德（Archimedes）计算出一个球体的体积时，他没有使用代数符号，也没有像我们现在这样将某个特定的数称为π,而是借助比例，用几何方式表示结果，这也是古希腊人的常见做法。但他的答案与今天的4/3πr^3，是一回事，后人一看便知。

当然，在数学之外，另一些古代的发现同样经受住了历史的考验。阿基米德曾经提出，一个（悬浮的）物体会排开与自身质量相等的液体，这就是一个例子，他的杠杆定律则是另一个例子。虽然一些来自古希腊的物理学和工程学知识在今天依然有效，但对这些学科来说，永不失效是少数情况；而在数学中，这却像是一个规律。欧几里得（Euclid）的《几何原本》（Elements）为几何学奠定了逻辑基础，直到今天仍然值得仔细研究。它的定理仍然成立，许多仍然实用。在数学中，我们不断前进，但过往不会被摒弃。

为了防止大家误以为数学总是埋首于过往，我需要指出两件事。

第一，一个方法或者定理在人们眼中的重要性是会发生变化的。有些数学领域已经不再那么引人注目，或者说，随着前沿的转变和新技术的兴起，它们已经不再流行。但它们依然手握真理，如果被发现同其他领域、新兴应用和方法论突破之间存在从前不知道的联系，老旧的领域时不时也能迎来复兴。

第二，在发展学科的时候，数学家们所做的不仅仅是延续古人的研究，他们还为数学开拓了大量新鲜、优美、重要且实用的内容。

尽管如此，基本的要点一直是稳固的。一旦一个数学定理被证明是正确的，它就成了可以让后人添砖加瓦的基础，永不坍塌。虽然为了消除未声明的假设，自欧几里得的时代以来，人们在看待证明的概念时越发严格，但我们依然可以在数学中填补眼下的空白，并获得站得住脚的成果。

数学领域是开辟出来的

本书探讨的是在数学中开拓新领域的过程，这个过程近乎神秘。数学并不是凭空出现的，它是被人创造出来的。有些人头脑清晰，拥有令人惊叹的创新能力，我们知道数学领域的巨大突破离不开他们，他们是先驱、巨人、开拓者。历史学家说得对，伟人的成就之下是许许多多普通人的支持，后者各自贡献微小的线索，为重大谜题的解答提供帮助。能够带来成果的重要问题可能由不那么有名的人提出；缺乏技能的人也许可以模模糊糊地生出某些重要的想法，但无法将它们转化成强有力的新方法和新观点。牛顿曾经自称“站在巨人的肩上”，这在某种程度上带有讽刺意味。这些巨人中有人——尤其是罗伯特·胡克（Robert Hooke）——抱怨说，与其说牛顿站在他们的肩上，倒不如说他踩在他们的脚指头上，因为牛顿并没有公平地分享声望，或者说，尽管他在著作中提及了别人的贡献，却在公众面前独享了荣誉。不过牛顿说得没错：如果没有前辈学者留下的大量见解，就没有他在运动、引力和光方面集大成的研究。而这些前辈并不全都是巨人，普通人也发挥了重要的作用。

巨人是脱颖而出的人，他们走出了一条路，我们其他人跟随其后。选择一部分巨人，了解他们的人生和成就，我们可以看到数学的新领域是由谁开辟出来的，怎样开辟出来的，这些人是怎样生活的。在我看来，他们不仅仅是为我们指明方向的先驱，还是在数学思想的密林中披荆斩棘，开辟出通行之路的开拓者。他们花费大量的时间艰难地穿越荆棘和沼泽，但时不时又能发现失落的“神象之城”或“黄金国”，找到隐藏在草木中的珍宝。他们走入了人类从前未知的思想秘境。

事实上，他们创造了这些领域。数学丛林不像亚马孙雨林或刚果盆地的热带雨林，数学开拓者不是沿着赞比西河开道或者寻找尼罗河源头的戴维·利文斯通（David Livingstone）。利文斯通是在“发现”已然存在的事物——当地居民早就知道它们存在了。但在那个年代，欧洲人口中的“发现”就是“欧洲人把某物指给其他欧洲人看”。但数学开拓者的成就远大于探索已经存在的丛林。在前行的过程中，他们似乎也塑造了丛林，就好像新的植物在他们的足迹中破土而出，飞速生长，然后成为参天大树。不过，这些植物的种类不是人能选择的，所以我们感觉数学丛林早已存在。你可以选择在哪里踩下足迹，但如果长出的是红树林沼泽，你就不能“发现”桃花心木林。

我想，依然在流行的柏拉图主义数学观的根源就在这里：数学真理“真实”存在，但以理念形式存在于某种平行现实中，不生不灭，直到永远。这样看来，在证明一个新定理时，我们只是发现了一直存在的东西。我不认为柏拉图主义作为一种说法有多大意义，但它准确描述了数学研究的过程。你无法选择：能做的就是摇晃草木，看会不会有什么东西掉出来。在《数学到底是什么？》（What is Mathematics, Really?）一书中，鲁本 ·赫什（Reuben Hersh）给出了更现实的数学观：它是人类共建共享的思维体系。在这方面，数学很像货币。货币并不“真的”是金属块、纸片，或者计算机里的数字；它是我们用金属块、纸片和计算机里的数字做交换时的一套共同约定，无论我们是在换钱，还是在买东西。

赫什激怒了一些数学家，他们盯住“人类共建”不放，声称数学绝不是能随意构建的东西，社会相对主义在这里是行不通的。他们没说错，但赫什非常清楚地解释过，数学并不是人类任意构建的。我们可以选择证明费马大定理，但我们无法选择它本身是真是假。经过人类共建，数学呈现出严格的逻辑体系，只有符合约束条件的内容才能加入其中。这些约束条件或许使我们能够区分真假，但大声宣称只有一个答案并不能让我们找到答案，重点在于答案是什么。我已经记不清多少次有争议的数学课题因为不讨人喜欢而遭受攻击了，攻击者总是指出，数学是一种“重言式”（tautology）：一切新东西都是已知事物的逻辑推演产物。没错，是这样的，旧事物里隐藏着新事物。但把新事物挖掘出来，需要巨大的付出。这一点，你可以去问问安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）。你可以告诉他，数学的逻辑体系早就决定了费马大定理的结论，但这是一句废话。怀尔斯花了七年时间才搞清楚这个早就决定了的结论是什么。在得出结论之前，知道它是“早就决定的”根本没用，这就好比你问别人大英图书馆怎么走，对方却告诉你它在英国。

25位巨人

本书并没有整理和书写整个数学史，但我努力以一种连贯的方式呈现数学主题，使各种概念随着篇章的推进逐步形成体系。总的来说，这意味着本书要大体上按照时间顺序呈现所有内容。然而，同时照顾主题和时间顺序会削弱可读性，因为我们需要不断地从一位数学家跳到另一位数学家，所以，我按照数学家的生日为章节排序，并偶尔提供交叉参考。

我选择了 25 位数学巨人，其中有古人也有现代人，有男性也有女性，有东方人也有西方人。以他们为中心的历史发端于古希腊，始于伟大的几何学家和工程师、成就斐然的阿基米德，他算出了π的近似值，找到了球体体积和表面积的计算方法，制作了阿基米德螺旋抽水器，设计了可以摧毁敌船的起重装置。接下来的三位代表生活在遥远的东方，中世纪数学的主要进展出现在那里。他们是中国学者刘徽、波斯数学家穆罕默德·伊本·穆萨·花拉子米 [Muhammad ibn Musaal-Khwarizmi，他的著作为我们带来了“算法”（algorithm）和“代数” （algebra）这两个词 ]，以及古印度桑加马格拉马的玛大瓦（Madhava of Sangamagrama，他最先研究了展开为无穷级数的三角函数，多年后西方的牛顿才重新发现了这个成果）。

在意大利文艺复兴时期，数学研究的主场回到了欧洲，我们将在那里邂逅吉罗拉莫 ·卡尔达诺（Girolamo Cardano），数学神殿中有史以来最大的恶棍之一。卡尔达诺嗜赌成性、好勇斗狠，但迄今为止最重要的代数学著作之一正是出自他手。他还行过医，占过星，简直是在照着八卦小报过日子。和他形成鲜明对比的是以费马大定理名扬四海的皮埃尔 ·德 ·费马（Pierre de Fermat），对数学的热情常常令这位律政人士顾不上本职工作。他让数论作为一个数学分支得到承认，还对光学做出了贡献，并探索了微积分的前身。而微积分的正式诞生则要归功于艾萨克 · 牛顿，他的经典之作是《自然哲学的数学原理》（Philosophiae Naturalis Principia Mathematica），通常被简称为《原理》（Principia）。牛顿在书中阐述了运动定律和万有引力定律，并用它们来解释太阳系的运动。他代表了数学物理学的一个关键节点，物理学从此成为一种有组织的数学研究，研究对象则是牛顿口中的“宇宙的体系”（System of the World）。

在牛顿之后的一个世纪里，数学的中心转移到了欧洲大陆和俄国。莱昂哈德 ·欧拉（Leonhard Euler）是史上最高产的数学家，他发表重要论文的速度堪比记者刊发日常报道。他还通过一系列优雅、清晰的教科书推动了许多数学领域的系统化。没有一个数学领域能逃过他的审视。欧拉甚至预见了约瑟夫·傅里叶（Joseph Fourier）的一些想法，后者对热的研究带来了现代工程师最重要的技术之一——傅里叶分析，涉及用基本三角函数正弦和余弦表示周期性波形。傅里叶也是第一个发现大气对地球热平衡有重要影响的人。

数学进入近代后，卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）拿出了无与伦比的研究成果，如果要评选有史以来最伟大的数学家，他便是实力强劲的参选者。高斯从数论出发，通过预测新发现的小行星谷神星的再次出现而在天体力学领域声名鹊起，并且在复数、最小二乘数据拟合和非欧几何方面取得了重大进展，但他没有发表过任何关于非欧几何的研究成果，因为他担心这太过超前，会招来嘲笑。尼古拉·伊万诺维奇 ·罗巴切夫斯基（Nikolai Ivanovich Lobachevsky）则不那么畏怯，他发表了大量文章介绍不同于欧氏几何的另一种几何，现在被称为双曲几何。如今，他和亚诺什·波尔约（János Bolyai）是公认的非欧几何创始人，这个领域可以解释为具有非零恒定曲率的曲面的自然几何。不过高斯的判断基本正确，非欧几何的思想太超前了，罗巴切夫斯基和波尔约在有生之年都没有得到肯定。革命者埃瓦里斯特 ·伽罗瓦（Évariste Galois）的悲剧故事为这个时代画上了句号，他为了一名年轻女子参加决斗，在年仅 20 岁时去世。伽罗瓦在代数学方面做出了重大贡献，今天用变换群来描述对称性的重要概念就可以追溯到他的研究。

此刻，故事迎来了一个新的主题，我们遇到的第一位女数学家开辟了新的道路，也就是计算数学。洛夫莱斯伯爵夫人奥古丝塔·埃达·金（Augusta Ada King, Countess of Lovelace；通常也称埃达·洛夫莱斯（Ada Lovelace）——编者注）曾经是查尔斯·巴贝奇（Charles Babbage）的重要协助者。潜心于研究的巴贝奇看到了机器计算的巨大潜能。他设想了分析机（Analytical Engine），这是一种由棘轮和齿轮组成的可编程计算机，如今已经成为蒸汽朋克科幻小说的招牌噱头。尽管存在争议，但人们普遍认为埃达是第一位计算机程序员。乔治·布尔（George Boole）延续了计算机的主题，他的《思维规律的研究》（An Investigation of the Laws of Thought）为当代计算机的数字逻辑奠定了基本的数学形式体系。

生生不息的数学丛林中不断出现各不相同的新领域，我们的故事也越发丰富。伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）善于洞察看似复杂的概念，发现其背后简单而普适的思想。他做出过堪称几何学基石的贡献，尤其是爱因斯坦（Einstein）革命性的引力理论（广义相对论）所依赖的弯曲流形。他还通过 ζ 函数将数论与复分析联系起来，大大推进了质数理论的发展。关于这个函数的零点的黎曼猜想，是全数学界最大、最重要的未解之谜之一，解答者可以获得百万美元的奖金。

接下来是格奥尔格·康托尔（Georg Cantor），他通过引入集合论改变了数学家思考本学科基础的方式，他定义了非零自然数 1, 2, 3,…和其他情形下的无穷大，从而在严谨、实用、有意义的层面发现，有些无穷大比其他无穷大更大。和很多创新者一样，康托尔在世的时候也曾遭到误解和嘲笑。

我们的第二位女数学家，天赋异禀的索菲娅·柯瓦列夫斯卡娅（Sofia Kovalevskaya）出现了。她的一生相当坎坷，原因关乎俄国革命下的政治以及男性主导的社会对杰出女学者设置的障碍。她能够在数学领域取得成就，这本身就令人惊叹。事实上，她在偏微分方程的求解、刚体的运动、土星环的结构，以及晶体对光线的折射等方面都有非凡的发现。

接下来，故事的节奏加快了。在 19 、20 世纪之交，法国的亨利·庞加莱（Henri Poincaré) 位列世界顶级数学家之一。他表面古怪，其实极为敏锐。他看到了拓扑学（一种“橡胶片几何学”，允许形状不断扭曲）这个新兴领域的重要性，并且将它从二维扩展到三维甚至更广。他将拓扑应用于微分方程，研究牛顿的引力模型中的三体问题。这使他发现了确定性混沌，即非随机系统中明显随机的行为存在的可能性。庞加莱还差点儿比爱因斯坦更早提出狭义相对论。

德国数学界也有自己的庞加莱，他就是大卫·希尔伯特（David Hilbert）。希尔伯特的职业生涯分为五个时期。首先，他吸纳了布尔关于不变量的思想——坐标发生变化，代数表达式依然保持不变。接着，他为数论的核心领域开发了系统化的处理方式。然后，他重新审视了欧几里得的几何公理，发现它们并不完备，于是增加了额外的公理来填补逻辑上的空白。随后，他转向数理逻辑和数学基础，启动了一项计划，旨在证明数学大厦可以拥有既一致（任何逻辑推导都不会推出矛盾）又完备（任何一则陈述都可以被证实或证伪）的公理基础。最后，他转而研究数学物理学，险些抢先爱因斯坦一步提出广义相对论，并且提出了对量子力学至关重要的希尔伯特空间。

埃米·诺特（Emmy Noether）是我们讲述的第三位，也是最后一位女数学家。在她生活的时代，女性参与学术研究仍然要受到大多数在职男性的排斥。她与希尔伯特一样，最初从事不变量理论研究，后来两人成了同事。希尔伯特曾竭力尝试打破限制女性的阻碍，为她争取一个长期的学术职位，但只取得了部分成功。诺特开辟了抽象代数的道路，如今我们口中群、环、域这样的公理结构便得益于她的先行探索。她还证明了一个将物理定律中的对称性和能量等守恒量关联起来的重要定理。

到这里，故事进入 20 世纪。数学界的强者并不局限于西方世界的受教育阶层，为了展现这一点，我们追寻出身贫寒、自学成才的印度天才斯里尼瓦瑟·拉马努金（Srinivasa Ramanujan）的踪迹，了解他的人生和研究。拉马努金对怪异但正确的公式有一种奇特的直觉，就算这种直觉不是独一无二的，也只有欧拉和卡尔 ·雅可比（Carl Jacobi）这样的巨人才能与他相比。对于证明，拉马努金缺乏足够明确的概念，但他能找到别人做梦也想不到的公式。直到今天，人们依然在用他的论文和笔记挖掘新思路。

两位富有哲学天赋的数学家让我们回到了数学的基础，以及它和计算的关系。一位是库尔特·哥德尔（Kurt Gӧdel），他证明了所有算术公理系统都必定存在不完备和不可判定的问题，从而摧毁了希尔伯特的计划。另一位是艾伦·图灵（Alan Turing），他针对可编程计算机功能的研究为这些成果提供了更简单、更自然的证明。毫无疑问，第二次世界大战期间在英国布莱奇利园的密码破译工作让他闻名于世。图灵还为人工智能提出了图灵测试，并且在战后研究了动物斑纹的规律。他是一名同性恋者，悲惨而神秘地去世。

我决定不收录在世的数学家，但会在本书最后介绍两位最近去世的当代学者，一位是纯数学家，另一位是脱离正统的应用数学家。后者是因分形研究而广为人知的贝努瓦 ·芒德布罗（Benoit Mandelbrot）。分形是一种几何图形，在任何尺度上放大都能呈现相同的细节。相比球体、圆柱体等整齐光滑的传统几何图形，分形通常可以更好地对自然进行建模。虽然另有几位数学家也研究过我们现在称为分形的结构，但芒德布罗发现了它们作为自然界模型的潜力，由此带来了巨大的进步。他不是活在定理和证明中的数学家，而是对几何有着强烈的视觉直觉，所以看到了其中的关系并且提出了猜想。芒德布罗还有点儿爱出风头，是一个精力充沛的思想推广者。数学界有些人并不喜欢他这一点，但你不可能取悦所有人。

我最后选择的纯数学家则是威廉·瑟斯顿（William Thurston），他称得上是数学家中的数学家。瑟斯顿也对几何有着极佳的直觉把握，而且广度和深度都超过芒德布罗。他研究定理和证明的能力不比任何数学家差，但随着职业生涯的发展，他更倾向于关注定理本身，而仅仅勾勒出证明思路。尤其是在拓扑学方面，他注意到了这个领域和非欧几何之间意想不到的联系。最终，这些想法促使格里戈里 ·佩雷尔曼（Grigori Perelman）证明了庞加莱在拓扑学中提出的一个难以捉摸的猜想。他的方法还证明了瑟斯顿的一个更普遍的猜想，为所有三维流形提供了意想不到的启示。

在本书最后，我将从这 25 位巨人的故事中拾取一些织就他们探索之路的线索，探讨我们该怎样理解这些数学先驱——他们是谁？他们是怎样工作的？他们从哪里获得了那些疯狂的想法？让他们成为数学家的最初动力是什么？

不过现在，我只想补充两则声明。第一，书中的内容必然是经过选择的。因为篇幅的限制，我无法全面撰写数学家的人生，调查这些开拓者研究的一切，或者深入他们思考的具体过程以及他们与同行互动的细节。我所做的是，从他们最重要或最有趣的发现和概念中，努力选取有代表性的部分，并且提供足够的历史细节，把他们当作当时社会中的人来描绘。对于一些古代数学家来说，这样的写法只能是非常粗略的，因为现存资料中没有多少关于他们生活的记录，通常也找不到他们著作的原始版本。

第二，数学发展史上的关键人物绝不只有我所选择的这 25 位。我的选择依据很多——数学课题的重要性、领域的内在趣味、人物故事的吸引力、历史时期、多样性，还有难以言说的“平衡”。如果你最喜欢的数学家被遗漏了，最大的可能是因为篇幅有限。再者，这也是因为我希望综合地理、历史和性别三个维度考虑，让入选代表的分布广阔一些。我相信书中的每一位数学巨人都完全值得被收录，尽管有一两位可能会引起争议。但毫无疑问，还有许多人分量相当，值得一起出现在书中。