尽管这些年来高考数学常因“太难”而引发热议，但实际上今天中学阶段教授的数学内容和整体难度，实际比以前简单了许多。20世纪以来，许多国家对数学教育先后发起过三次声势浩大的改革，但每一次纠偏都带来新的纷争，如今人类再次来到了数学教育与时代发展错位的节点。

撰文 | 行思

每年高考数学一结束，只需要零秒就能猜到网上会怎么吐槽。毕竟哪怕是相对简单的2024年和2025年高考数学，平均分也很难达到及格线，至于地狱难度的2022年，已经是不堪回首的记忆了。但是如果我们翻开近一百年的中学数学大纲，可能会发现一个令人意外的事实：今天的数学题可比我们的父辈特别是祖辈简单多了。

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数学教育太落后了，中学必须学微积分！

众所周知，数学在18-19世纪有了长足的发展，出现了欧拉、高斯、黎曼等影响世界的数学家，但是彼时的数学教育还非常落后，仍然以欧几里得的《几何原本》为核心，让学生学习那些酸涩的证明。这就产生了两个非常严重的问题，一个是数学研究的后备军跟不上，没有大量的数学研究者帮助天才数学家省下一个下午；另外一个便是社会对劳动力的数学素质要求很高，但是难以用现有的数学教育来满足。

大家并非没有想着改善原有的数学教学，但办法是，把《几何原本》的证明做得好看一些，让大家学起来更方便。这是Oliver Byrne于1847年编撰的《几何原本》前六卷。 | 图源：Taschen

英国工程师约翰·培利（John Perry）对此特别不满，他甚至因为英国人数学素质差而被别国同行嘲笑。1901年9月，他在英国科学促进会格拉斯哥年会上，对着数学与物理分会和教育分会的联席会议，把现行数学教学骂了个痛快。他从自身的经历出发讲述数学教育的局限性：当年当学徒时就知道一些三角和大量代数，还精通几何；想学工程理论，但手头两本书全是看不懂的数学符号；渴望知道微积分，但是不知道去哪里学。回过头看，他觉得自己“为获得这些符号的知识而喘息了好几年”。他由此感慨道：纯粹数学家们偶尔也批评我们的教学方法，西尔维斯特批评过，德·摩根也批评过，但批评归批评，什么都没变。我们不能再等了。再等下去，大英帝国就要完蛋了！

约翰·培利（John Perry，1850-1920）

他提的具体主张有几条：让学生用方格纸画函数曲线，从图形上读出斜率、极值和变化率；用实验和测量代替纯纸面推导来学几何；更根本的一条是微积分必须进中学，而且不是作为尖子生的选修，是面向所有学生的基础课。他相信，一个善于思考的教师应该“能让小男孩迅速掌握微积分的基本概念”。这场演讲引发了一场持续数小时的讨论，后来结集出版为《数学教学讨论录》。讨论的余波还促成了英国科学促进会成立一个专门委员会，研究数学教学的现状和改进方向。

1899年，约翰·培利出版的《实用数学》教科书，第一章便是指数与对数。| 图源：Archive

德国那边，菲利克斯·克莱因（Felix Christian Klein）推动得更有系统。克莱因是当时德国数学界最有组织力的人之一，他深知纯粹数学和应用数学之间的鸿沟不是大学才存在的，而是在中小学逐渐形成的。1904到1905年间，他主导了德国数学教学改革的整体规划，在梅兰会议上拿出了具体的课程方案，明确要求把函数概念和微积分初步写进中学大纲。他跟培利方向一致，但做法更制度化和专业化。不仅有专门的委员会，还出版了《中学数学讲义》和《高观点下的初等数学》两本书。

菲利克斯·克莱因（Felix Christian Klein，1849-1925）

这两路人马后来被合称“培利—克莱因运动”，是20世纪数学教育的第一次大规模改革运动。但改革推了十几年，落地的东西相当有限。因为中学数学教育的内容是由大学入学考试决定的，而考试机构不打算在短期内改变他们的内容。培利自己那套教学法，在少数学校试验了几年，效果见仁见智，争议颇多。1912年，一位培利运动的支持者无奈地写道：“我们谈了许多，行动却甚少。”但这场运动留下了一个东西，就是“微积分进中学”这个诉求本身。它此后一直没有从讨论桌上消失。此后的半个世纪里，各国课程在缓慢地向这个方向移动，直到下一次改革契机的到来。

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苦一苦中学生，骂名数学家来担

两次世界大战对人类的科技发展在客观上起到了促进作用，但是也让大家看到了科技与国家实力的密切关系，因此要提升科学教育的质量，作为科学的基础，数学教育的提升也被摆在台面上。1957年，苏联发射了第一颗人造地球卫星斯普尼克一号，这让美国大为震惊，称之为“斯普尼克时刻”。斯普尼克让美国从各方面反思自己，其中有种观点认为，苏联之所以能在太空竞赛中领先，都是因为他们的数学教育特别扎实，因此美国想要在未来的竞争中取得领先，就要加强公众的数学能力。这场运动也被称为“新数运动”。

20世纪60年代美国的新数学教材。| 图源：wiki

新数运动的“新”字，是跟培利—克莱因运动对照出来的。第一次运动说的是数学该教什么，这次说的是数学该用什么方式组织。主导这次运动的人，不再满足于把微积分搬进中学，他们要从根本上改变中小学数学的知识结构。而这个改变的核心词，是“结构”二字。

什么叫数学的结构？这得从法国的布尔巴基学派说起。这群法国数学家从20世纪30年代起，用公理化和结构化的方式重写了整个高等数学，把数学分成代数结构、序结构、拓扑结构三大类，一切从集合论出发。新数运动的推动者觉得，既然现代数学已经是这个面貌了，中学就不该再按老一套的算术、代数、几何、三角的线性顺序教下去，而应该让学生从一开始就接触到数学的底层结构，比如说集合、等价关系、运算律、群。说得直白一点：与其教孩子算 2+3=5，不如先让他们搞懂什么叫二元运算。

布尔巴基学派的成员构成到今天仍然是一个谜，创始成员包括亨利·卡尔坦（站着，最左边）、安德烈·韦伊（站着，右边第二位）和索莱姆·曼德尔布罗伊特（坐着，最右边）。| 图源：Quanta magazine

由此就诞生了一个著名的笑话：

一位苏联数学家去法国考察，问小学生 2+3 等于几

小学生说不知道

再问 3+2 呢

还是不知道

那你知道什么？

我知道 2+3 等于 3+2，因为这是一个阿贝尔群！

与第一次数学改革运动不同的是，新数运动所影响的国家比之前多得多。美国方面，主要推动者有好几拨。数学界这边，有芝加哥大学的贝伯曼（Max Beberman），他在20世纪50年代末就搞了一套叫 UICSM（伊利诺伊大学学校数学项目）的教材实验，把集合论的语言和发现式教学引入课堂；还有SMSG（学校数学研究组），这是在耶鲁大学的贝格（Edward Begle）牵头的大型项目，集中了一批顶尖数学家编写全套中小学教材。政府那边，1958年国会通过《国防教育法》，联邦资金大量注入科学和数学教育的改革，SMSG 等项目的经费相当一部分就来自这条线。

UICSM 的数学实验教材 | 图源：Americanhistory

法国这边走得比美国更远。1959年，法国数学家迪厄多内（Jean Dieudonné）喊出了“欧几里得滚蛋”的口号。20世纪60年代末，一批布尔巴基成员直接参与了中学教材的编写，其中最激进的做法是把微积分之前的所有内容用集合论的语言统一重写。几何不再是从公理出发的演绎体系，而是被当作线性代数的直观模型来讲。向量、仿射变换、向量空间，这些大学数学系的标配，出现在了法国中学的课堂上。

André Revuz主编的6年级数学教材

苏联的时间晚一些，安德烈·柯尔莫哥洛夫（Андре́й Никола́евич Колмого́ров）从20世纪60年代起担任苏联中学数学课程委员会的组长，1968到1969年间推出了新的教学大纲，覆盖4到10年级，整个中学阶段。内容包括引入集合论作为基础语言，用向量和坐标方法重新组织几何教学，把概率论和组合数学编入课程，强调函数的统一观点。柯尔莫哥洛夫亲自操刀编写了6到8年级的几何教科书，核心思路是用向量取代传统的欧几里得演绎体系，不再从公理出发一条一条地证，而是用向量运算和坐标变换来处理几何问题。他同时也把自己最拿手的概率论塞进了中学课本。

苏联6-8年级教材——几何，480页塞进去了1300道习题，这是第五章向量。

中国虽然没有直接进行新数运动，但也进行了一场“数学教育现代化”的尝试，口号是“能编多高编多高”。解析几何、概率统计都塞进了中学，最激进的试点方案甚至写到了常微分方程，平面几何则大幅精简，正负数和计算题下放到小学。代数、几何、三角不再分科，而是统称“数学”，号称“一条龙”体系。不过这些尝试很快就被叫停。

微积分学包括极限与联系、微分学、积分学和常微分方程、空间解析几何等五章。| 图源：《新中国中小学教科书图文史·数学》

新数运动很快就遇到了问题。首先是老师们看不懂，教材是顶尖数学家写的，教书的却是普通的中学老师。很多教师自己就没学过集合论和抽象代数，现在要他们用这套语言去给十四五岁的孩子讲数学，场面可以想象。第二个问题是学生跟不上。集合、等价类、二元运算这些概念，对一个刚学完分数加减法的孩子来说，简直是“误闯天家”。家长更困惑，他们翻开孩子的数学课本，发现自己完全看不懂，连作业都没法辅导。第三个问题是，计算能力大面积滑坡。新数运动贬低机械运算，强调概念理解，但概念理解没建立起来，基本计算能力反而丢了。

到了70年代，大家逐渐开始放弃新教材，回到了更为传统的路线。新数运动虽然失败，但它也留下来了一些遗产。一方面，集合论的语言和函数概念从此确实进入了中学课本，虽然不再是主角，但至少存在了；另一方面，它给后来的改革者提供了一个反面教材：数学教育改革不能只靠数学家。

1999年，《时代》杂志将“新数学”列入 20 世纪 100 个最糟糕的想法名单。

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数学到底该怎么教呢？

新数运动失败以后，人们开始反思：改革到底留下了什么？说全盘失败，也不完全对。它提出的几条思路，包括要把现代数学的新发展反映到课程里、重视科学方法、强调发现式学习、把数学学习看成过程而不是结果等。这些想法本身没有错，而且在后来的改革里一直存在。我国现在的数学课改，很多提法都能追溯到新数运动那一代人。

第三次改革从1980年代初开始，一直延续到现在。它面对的形势跟前两次不一样了。中等教育在各国基本普及，上大学不再是少数人的事儿，终身教育的说法也出来了。“以学生的发展为本”这句话在各国的政策文件里反复出现。同时，信息技术渗透到日常生活，公众对数学的理解深度也得跟上。再加上各国数学教学质量普遍下滑，焦虑感在政界和公众中蔓延，改革不得不推。

20世纪80年代末，美国全国数学教师委员会（NCTM）发布了课程标准，把“问题解决”定为学校数学的核心，同时强调应用性、降低统一性、增加选择性，倡导探究式学习和合作学习，评价也不只看考试分数，还看“努力程度、行为表现和到校上课率”。听起来也是很好的，结果落地出问题了。

过分强调问题解决，基础知识就没人管了。过分强调应用性，数学学科本身的系统性被拆散了。过分强调学生的兴趣和自主建构，跟数学学习本身的特性产生了冲突，毕竟数学学习不可能总是好玩的。合作学习也有问题。没有精心设计的合作几乎必然跑偏，学生不知道该讨论什么，聊着聊着就离题了，而且容易催生依赖心理，最后全靠大腿带。

到了20世纪末，美国数学教育界爆发了一场激烈的公开论战，史称“数学战争”（Math Wars）。一边是以 NCTM 为代表的改革派，坚持建构主义和问题解决路线；另一边是传统派，要求恢复系统知识的讲授和基本技能的训练。加州是这场战争的主战场，所以加州的数学课程标准在改革派和传统派之间来回摇摆了好几轮，很多工程师和科学家家长对学校的数学教学怒不可遏，自己给孩子补课。

最后“学习数学不可能总是好玩的”被写进了政策讨论。这场轰轰烈烈的运动，似乎又是虎头蛇尾。似乎这就成了数学教育改革的必然结局。每一个方向都纠正了前一次的偏失，每一个方向也都制造了新的偏失。回头看，有用、严谨、为学生，这三个诉求，没有一个是错的，但也没有一个可以单独撑起数学教育。怎么把三者拧到一起，到今天仍然是个没有标准答案的问题。

所以，当大家看着数学题反反复复的风格与难度切换觉得头大如斗的时候，可能数学家与数学老师们更加难过。人类世界又走到了数学与时代发展错位的地步，这次应该怎么办呢？

AI时代，继续加强学生的数学教育吗？没有人知道答案。| 图源：网络

本文经授权转载自微信公众号“墨子沙龙”，原标题为《其实现在的高考数学题比以前简单多了，真的！》。

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